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Discussion: Logique mathématique et Fermat

          
  1. #1
    AIB
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    Logique mathématique et Fermat

    [COLOR=black][FONT=Arial]Bonjour et bonne lecture :

    Logique mathématique et Fermat : [/FONT][/COLOR]
    [COLOR=black][FONT=Arial]
    Utilisation de la logique mathématique bivalente pour établir une propriété héritée par des facteurs premiers entre eux d’une puissance de degré n égale à la somme ou à la différence de deux puissances de même degré n :

    Enoncé de la propriété P :
    P(a^n) : « La puissance a^n est égale à la somme ou à la différence de deux puissances de même degré n ; a,n Є N+ »
    Dans la logique bivalente (tiers exclu) : P(a^n) [/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∨[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial] ¬P(a^n) = V ,
    la proposition P(a^n) est vraie : P(a^n) = V, ou fausse : P(a^n)=F.

    Etablissement de la propriété héritée :
    P(Z^n=a^n*b^n)=V => (P(a^n)=V)[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∨[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial](P(b^n)=V) , a et b sont premiers entre eux

    Propositions logiques :
    1 - :
    [([/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∀ [/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial]a,b,n Є N+ , Z=ab))
    ((P(a^n) = F)[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∧[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial](P(b^n) = F) ==> P(Z^n=a^n*b^n) = F)]=V

    Preuve :
    Supposons :
    2 - :
    ([/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∃ [/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial]a,b,n Є N+ , Z=ab))
    ( (P(a^n) = F)[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∧[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial](P(b^n) = F) ==> P(Z^n=a^n*b^n) = V)
    Cette proposition (2), contradictoire de (1), a pour contraposée :
    3 - :
    ([/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∃ [/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial]a,b,n Є N+ , Z=ab))[/FONT][/COLOR]
    [COLOR=black][FONT=Arial](P(Z^n=a^n*b^n) = F ==> (P(a^n) = V)[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∨[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial](P(b^n) = V)) [négation de (1)]
    D’après la conclusion de cette proposition (3), et en supposant que
    b^n = x^n ± y^n , puisque Z^n=a^n*b^n et b^n = x^n ± y^n, on a Zn=a^n(x^n ± y^n) et , la multiplication étant distributive par rapport à l’addition/soustraction et associative, Zn=a^n*x^n ±a^n*y^n= (ax)^n ± (ay)^n .
    Donc P(Zn(ax)^n ± (ay)^n)=V, en contradiction avec l’hypothèse : P(Z^n=a^n*b^n) = F dans la proposition (3) [négation de (1)] qui est elle-même la contraposée de la proposition (2), la contradictoire de la proposition (1).
    Comme la proposition (2), la contradictoire de la proposition (1), mène à une contradiction, elle est donc fausse et la proposition (1) est donc vraie :
    A - :
    [([/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∀ [/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial]a,b,n Є N+ , Z=ab))
    ( (P(a^n) = F)[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∧[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial](P(b^n) = F) ==> P(Z^n=a^n*b^n) = F) ] = V
    Sa contraposée, proposition équivalente, est vraie aussi :
    B - :
    B1 - :
    [([/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∀ [/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial]a,b,n Є N+ , Z=ab))
    (P(Z^n=a^n*b^n) = V ==> (P(a^n) = V)[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∨[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial](P(b^n) = V))] = V
    B2 - :
    [(P(Z^n=a^n*b^n) = V ==> (P(a^n) = V)[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∨[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial](P(b^n) = V))]
    ==> [(P(Z^n=a^n*b^n) = V) [/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∧[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial] (P(a^n) = F) ==> (P(b^n) = V)]

    Cette proposition (B) donne une règle opératoire qui, par itérations successives, constitue une règle de réduction ou de « descente finie» relevant du principe d’induction finie.
    Ainsi la proposition (B1) implique la proposition de réduction :
    C - :
    (Z = ∏i m pi^αi, Z décomposé en un produit de facteurs premiers,
    αi : exposant entier ≥ 1, i=1, 2, … , m)

    [(P(Z^n=(∏i m pi^αi)^n) = V ==>
    (P((p1^α1)^n) = V)[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∨[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial](P((p2^α2)^n) = V)) [/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∨[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial] .... [/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∨[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial](P((pm^αm)^n) = V))] = V
    de proposition équivalente :
    D - :
    Théorème F :
    [(P(Z^n=(∏1 m pi^αi)^n) = V ==>
    ([/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∃[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial] pi^αi Є E={ (p1^α1) , (p2^α2) , … , (pm^αm) })(P((pi^αi)^n) = V)] = V

    Application :
    Démonstration du grand théorème de Fermat ou
    démonstration élémentaire du théorème de Fermat-Wiles :
    (Z = ∏i m pi^αi, Z décomposé en un produit de facteurs premiers,
    αi : exposant entier ≥ 1, i=1, 2, … , m)

    H : [[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∃[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial] Z, Y, X, n Є N+ , n>2 | Z^n=Y^n+X^n]
    ==>
    C : [[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∃[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial] y, x, n Є N+ , n>2 |
    (pj^αj)^n = y^n±x^n , pj^αj facteur premier de Z, pj : pair ou impair , αj Є N+]
    D’après le théorème F établi ci-dessus :
    [(P(Z^n=(∏1 m pi^αi)^n) = V ==>
    ([/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∃[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial] pi^αi Є E={ (p1^α1) , (p2^α2) , … , (pm^αm) })(P((pi^αi)^n) = V)] = V
    Mais
    Théorème A :
    [[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∀[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial] p premier (pair ou impair) , y, x, n, α Є N+ , n>2 : (p^α)^n ≠ y^n±x^n , P((p^α)^n)=F]=V
    ==>
    Théorème de Fermat-Wiles :
    [[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∀[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial] Z, Y, X , n Є N+ , n>2 : Z^n≠Y^n+X^n , P(Z^n)=F]=V

    Remarques :
    Je crois que c’est le schéma de démonstration annoncée par Pierre de Fermat (1601-1665).
    La démonstration du théorème A :
    [[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Cambria Math]∀[/FONT][/COLOR][COLOR=black][FONT=Arial] p premier (pair ou impair) , y, x, n, α Є N+ , n>2 : (p^α)^n ≠ y^n±x^n , P((p^α)^n)=F]=V ,
    comporte en fait deux démonstrations (arithmétiques) dont la plus courte est évidente ou immédiate.
    Ma démonstration des deux théorèmes F et A comporte 11 pages.
    Je crois aussi qu’Abel (1802-1829) s’était engagé (conjoncture d’Abel, 1823) à emprunter le chemin du schéma de démonstration annoncée par Fermat, mais la vie ne lui a pas laissé le temps nécessaire pour trouver une bonne direction.
    Quant à moi, cela fait plus de 45 ans que je suis, de temps en temps, à la recherche de méthodes mathématiques dont les outils étaient connus de Fermat pour résoudre « l’énigme de Fermat ». J’ai essayé, sans succès, plusieurs méthodes (analyse, géométrie, arithmétique) ne faisant pas appel à la logique mathématique. C’est en reprenant l’étude des formes quadratiques binaires et des triplets pythagoriciens, surtout les triplets pythagoriciens primitifs et leur généralisation (conjoncture d’Abel), que la logique mathématique bivalente m’est apparue être un outil salvateur.
    [/FONT][/COLOR]
    [COLOR=black][FONT=Arial] Ahmed IDRISSI BOUYAHYAOUI
    [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=Calibri][FONT=Courier New] © [/FONT]INPI-Paris[FONT=Courier New][/FONT][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=black][FONT=Arial]P.S. qui ne vous concerne pas : [/FONT][/COLOR]
    [COLOR=black][FONT=Arial]Mon comportement : logique de dons et stratégie défensive.
    Ma démonstration des deux théorèmes F et A est déposée à l’INPI-Paris pour protection contre les prédateurs et les pirates dont la devise est : prendre le fruit et abattre son arbre.
    « Le sec brûle le vert. »
    *
    * [/FONT][/COLOR]
    [FONT=Calibri][SIZE=3][COLOR=#000000] [/COLOR][/SIZE][/FONT]

  2. #2
    Modératrice
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    [FONT=Comic Sans MS]pardon, mais je voudrais comprendre : ces sont des nouveaux théorèmes ou quoi ? vos propres , AIB ??[/FONT]

    [FONT=Comic Sans MS]bon, personsellement j ai pas bien compris lool, vous avez commencé par une équation que tu suppose vraie et fausse en meme temps !! ![/FONT]




    [FONT=Comic Sans MS]en tt cas, je m'excuse , en fait suis pas bonne camarade avec ce maths là loool !![/FONT]
    [FONT=Comic Sans MS][/FONT]
    [FONT=Comic Sans MS]mais bon merci ! [/FONT]

  3. #3
    AIB
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    Logique classique, arithmétique et Fermat

    Bonjour,

    Preuve du Grand Théorème de Fermat :
    [URL]http://happy-arabia.net/GTFpreuve.pdf[/URL]


    Fermat's Last Theorem proof :
    [URL]http://happy-arabia.net/FLTproof.pdf[/URL]


    Ahmed Idrissi Bouyahyaoui

  4. #4
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    le theoreme de fermat est un problem tres ancien, il fait partie du corps des theoremes d'arthitmetique sur les nombres premiers, les nombres premier sont en soit un sujet tres ancien, qui n'est toujours pas entierement elucidé, la definition d'un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par lui meme et un, 1 3 5 7 11 13 17 23, etc leur repartition est aleatoire, il est aujourd'hui impossible de determiner si un nombre est premier ou non, et l'algorythm qui permet de les definir est toujour inconnu

    une des application la plus utilisée dans l'industrie aujourd'ui du theoreme de fermat est l'encryptage asymmetrique, dont la securité depend entierement de l'arithmetique des nombres premiers




    [URL]http://interstices.info/jcms/c_30225/nombres-premiers-et-cryptologie-lalgorithme-rsa[/URL]


    Les nombres premiers ont depuis toujours fasciné les mathématiciens. Pourquoi ? Parce que bien qu'ils soient définis par une propriété simple - un nombre premier est un entier naturel défini par le fait d'avoir exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même -, il existe une infinité de nombres de ce type, et leur répartition, qui ne semble être régie par aucune règle, paraît très irrégulière. Ces nombres sont particulièrement importants en arithmétique, la branche des mathématiques qui traite des nombres entiers. Mais ils font également l'objet d'une actualité brûlante dans les nouvelles technologies, en particulier dans la cryptographie, pour le codage des informations. Avec le développement d'internet, le besoin de transmettre des informations confidentielles de façon sécurisée, par exemple des numéros de carte bancaire, est en effet devenu primordial... C'est là notamment qu'intervient l'algorithme RSA, un algorithme de cryptographie basé sur une propriété simple des nombres premiers.





    [COLOR=#222222][FONT=Georgia]Le protocole RSA est fondé sur un résultat d'arithmétique dont la démonstration prend quelques lignes. Mais prenons d'abord le temps de définir quelques notions importantes sur les nombres entiers. Rappelons qu'un nombre premier n'est divisible que par lui-même et par un. Il en existe une infinité, {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...}. Ces nombres sont d'une importance particulière dans l'étude des nombres entiers, notamment par le fait que chaque nombre entier s'écrit de façon unique (à l'ordre des facteurs près) comme un produit de nombres premiers.[/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia]On dit que [I]p est un diviseur du nombre entier [I]n s'il existe un nombre entier [I]q tel que [I]n = [I]p × [I]q. Deux nombres entiers [I]p et [I]q sont dits premiers entre eux si le plus grand entier divisant à la fois [I]p et [I]q est 1. Dans ce cas, le [URL="http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9_de_B%C3%A9zout#Th.C3.A9or.C3.A8me_de _B.C3.A9zout"]théorème de Bezout http://interstices.info/images/custo...ucelienweb.gif[/URL] nous assure qu'il existe deux nombres entiers relatifs (l'un positif, l'autre négatif) [I]m et [I]n tels que [I]m × [I]p + [I]n × [I]q = 1. Forts de ces résultats, énonçons la propriété fondamentale du fonctionnement du RSA.[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B]Théorème. Soient [I]p et [I]q deux nombres premiers, et posons [I]n = [I]p × [I]q.
    Soit [I]e est un entier premier avec ([I]p - 1) × ([I]q - 1), alors il existe un entier [I]d > 0 et un entier [I]m tels que [I]e × [I]d+ [I]m × ([I]p - 1)([I]q - 1) = 1.
    Notons au passage que si on choisit [I]d positif et inférieur à ([I]p - 1)([I]q - 1), alors [I]d est unique.[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I]On note [I]a[SUP]k[/SUP] le nombre [I]a élevé à la puissance [I]k, c'est-à-dire le nombre [I]a multiplié par lui-même [I]k-1 fois.[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I]Pour tout entier [I]a > [I]n premier avec [I]n, le reste de la division de [I]a[SUP]e×d[/SUP] par [I]n est égal à [I]a.[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B]Démonstration. Le reste de la division de [I]x par [I]n vaut [I]y s'exprime en langage mathématique : [I]x est congruent à [I]y modulo [I]n et se note [I]x ≡ [I]y [[I]n]. Cette notation est utilisée dans la suite de ce document. On appelle φ la fonction indicatrice d'Euler, c'est-à-dire la fonction qui associe à tout entier naturel [I]n le nombre de nombres premiers avec [I]n dans l'ensemble {1, . . . , [I]n}. Pour un nombre premier [I]p, on a φ([I]p) = [I]p - 1 car seuls 1 et [I]p ne sont pas premiers avec [I]p dans l'intervalle {1, . . . , [I]n}. D'autre part, on a φ([I]p×[I]q) = ([I]p - 1) × ([I]q - 1) pour [I]p et [I]q deux nombres premiers distincts. En effet, les seuls nombres entiers compris entre 1 et [I]p×[I]q qui ne sont pas premiers avec [I]p×[I]q sont les multiples de [I]p ou de [I]q. Il y a exactement [I]p multiples de [I]q dans {1, . . . , [I]p×[I]q} et [I]q multiples de [I]p. L'entier [I]p×[I]q est à la fois multiple de [I]pet de [I]q, donc on a [I]p + [I]q - 1 diviseurs de [I]p×[I]q distincts dans l'ensemble {1, . . . , [I]p×[I]q}, donc φ([I]p×[I]q) = [I]p×[I]q - [I]p - [I]q + 1 = ([I]p - 1)([I]q - 1).[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I]Le [URL="http://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_th%C3%A9or%C3%A8me_de_Fermat"]petit théorème de Fermat http://interstices.info/images/custo...ucelienweb.gif[/URL] généralisé nous assure que pour tout entier [I]a premier avec un entier [I]n, on a : [I]a[SUP]φ([I]n)[/I][/SUP][I] ≡ 1 [[I]n].[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I]Comme [I]e est supposé premier avec ([I]p - 1)([I]q - 1), on sait d'après le théorème de Bezout qu'il existe un entier [I]d tel que [I]e × [I]d = 1 + [I]m × ([I]p - 1)([I]q - 1). Soit [I]a un nombre premier avec [I]p×[I]q. On a
    [I]a[SUP][I]ed[/I][/SUP][I] = [I]a[SUP]1+[I]m×([I]p - 1)([I]q - 1)[/I][/I][/I][/SUP][I][I][I]
    = [I]a × ([I]a[SUP]φ([I]p×[I]q)[/I][/I][/SUP][I][I])[SUP][I]m[/I][/SUP][I]
    ≡ [I]a×1[SUP][I]m[/I][/SUP][I] [[I]p×[I]q]
    ≡ [I]a
    en utilisant le petit théorème de Fermat généralisé.[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I]De ce théorème, on déduit alors le protocole RSA pour le codage.






    un tres bon livre sur le sujet est 'la symphonie des nombre premiers', il est tres accessible et tres detaillé sur l'histoire et le developpement des nombres premier et leur utilité, ils expliquent entre autre aussi l'importance du theoreme de fermat
    [/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]

  5. #5
    Fidèle
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    Citation Envoyé par h0bby1 Voir le message
    le theoreme de fermat est un problem tres ancien, il fait partie du corps des theoremes d'arthitmetique sur les nombres premiers, les nombres premier sont en soit un sujet tres ancien, qui n'est toujours pas entierement elucidé, la definition d'un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par lui meme et un, 1 3 5 7 11 13 17 23, etc leur repartition est aleatoire, il est aujourd'hui impossible de determiner si un nombre est premier ou non, et l'algorythm qui permet de les definir est toujour inconnu

    une des application la plus utilisée dans l'industrie aujourd'ui du theoreme de fermat est l'encryptage asymmetrique, dont la securité depend entierement de l'arithmetique des nombres premiers




    [URL]http://interstices.info/jcms/c_30225/nombres-premiers-et-cryptologie-lalgorithme-rsa[/URL]


    Les nombres premiers ont depuis toujours fasciné les mathématiciens. Pourquoi ? Parce que bien qu'ils soient définis par une propriété simple - un nombre premier est un entier naturel défini par le fait d'avoir exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même -, il existe une infinité de nombres de ce type, et leur répartition, qui ne semble être régie par aucune règle, paraît très irrégulière. Ces nombres sont particulièrement importants en arithmétique, la branche des mathématiques qui traite des nombres entiers. Mais ils font également l'objet d'une actualité brûlante dans les nouvelles technologies, en particulier dans la cryptographie, pour le codage des informations. Avec le développement d'internet, le besoin de transmettre des informations confidentielles de façon sécurisée, par exemple des numéros de carte bancaire, est en effet devenu primordial... C'est là notamment qu'intervient l'algorithme RSA, un algorithme de cryptographie basé sur une propriété simple des nombres premiers.





    [COLOR=#222222][FONT=Georgia]Le protocole RSA est fondé sur un résultat d'arithmétique dont la démonstration prend quelques lignes. Mais prenons d'abord le temps de définir quelques notions importantes sur les nombres entiers. Rappelons qu'un nombre premier n'est divisible que par lui-même et par un. Il en existe une infinité, {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...}. Ces nombres sont d'une importance particulière dans l'étude des nombres entiers, notamment par le fait que chaque nombre entier s'écrit de façon unique (à l'ordre des facteurs près) comme un produit de nombres premiers.[/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia]On dit que [I]p est un diviseur du nombre entier [I]n s'il existe un nombre entier [I]q tel que [I]n = [I]p × [I]q. Deux nombres entiers [I]p et [I]q sont dits premiers entre eux si le plus grand entier divisant à la fois [I]p et [I]q est 1. Dans ce cas, le [URL="http://fr.wikipedia.org/wiki/Identité_de_Bézout#Th.C3.A9or.C3.A8me_de_B.C3.A9 zout"]théorème de Bezout http://interstices.info/images/custo...ucelienweb.gif[/URL] nous assure qu'il existe deux nombres entiers relatifs (l'un positif, l'autre négatif) [I]m et [I]n tels que [I]m × [I]p + [I]n × [I]q = 1. Forts de ces résultats, énonçons la propriété fondamentale du fonctionnement du RSA.[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B]Théorème. Soient [I]p et [I]q deux nombres premiers, et posons [I]n = [I]p × [I]q.
    Soit [I]e est un entier premier avec ([I]p - 1) × ([I]q - 1), alors il existe un entier [I]d > 0 et un entier [I]m tels que [I]e × [I]d+ [I]m × ([I]p - 1)([I]q - 1) = 1.
    Notons au passage que si on choisit [I]d positif et inférieur à ([I]p - 1)([I]q - 1), alors [I]d est unique.[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I]On note [I]a[SUP]k[/SUP] le nombre [I]a élevé à la puissance [I]k, c'est-à-dire le nombre [I]a multiplié par lui-même [I]k-1 fois.[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I]Pour tout entier [I]a > [I]n premier avec [I]n, le reste de la division de [I]a[SUP]e×d[/SUP] par [I]n est égal à [I]a.[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B]Démonstration. Le reste de la division de [I]x par [I]n vaut [I]y s'exprime en langage mathématique : [I]x est congruent à [I]y modulo [I]n et se note [I]x ≡ [I]y [[I]n]. Cette notation est utilisée dans la suite de ce document. On appelle φ la fonction indicatrice d'Euler, c'est-à-dire la fonction qui associe à tout entier naturel [I]n le nombre de nombres premiers avec [I]n dans l'ensemble {1, . . . , [I]n}. Pour un nombre premier [I]p, on a φ([I]p) = [I]p - 1 car seuls 1 et [I]p ne sont pas premiers avec [I]p dans l'intervalle {1, . . . , [I]n}. D'autre part, on a φ([I]p×[I]q) = ([I]p - 1) × ([I]q - 1) pour [I]p et [I]q deux nombres premiers distincts. En effet, les seuls nombres entiers compris entre 1 et [I]p×[I]q qui ne sont pas premiers avec [I]p×[I]q sont les multiples de [I]p ou de [I]q. Il y a exactement [I]p multiples de [I]q dans {1, . . . , [I]p×[I]q} et [I]q multiples de [I]p. L'entier [I]p×[I]q est à la fois multiple de [I]pet de [I]q, donc on a [I]p + [I]q - 1 diviseurs de [I]p×[I]q distincts dans l'ensemble {1, . . . , [I]p×[I]q}, donc φ([I]p×[I]q) = [I]p×[I]q - [I]p - [I]q + 1 = ([I]p - 1)([I]q - 1).[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I]Le [URL="http://fr.wikipedia.org/wiki/Petit_théorème_de_Fermat"]petit théorème de Fermat http://interstices.info/images/custo...ucelienweb.gif[/URL] généralisé nous assure que pour tout entier [I]a premier avec un entier [I]n, on a : [I]a[SUP]φ([I]n)[/I][/SUP][I] ≡ 1 [[I]n].[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I]Comme [I]e est supposé premier avec ([I]p - 1)([I]q - 1), on sait d'après le théorème de Bezout qu'il existe un entier [I]d tel que [I]e × [I]d = 1 + [I]m × ([I]p - 1)([I]q - 1). Soit [I]a un nombre premier avec [I]p×[I]q. On a
    [I]a[SUP][I]ed[/I][/SUP][I] = [I]a[SUP]1+[I]m×([I]p - 1)([I]q - 1)[/I][/I][/I][/SUP][I][I][I]
    = [I]a × ([I]a[SUP]φ([I]p×[I]q)[/I][/I][/SUP][I][I])[SUP][I]m[/I][/SUP][I]
    ≡ [I]a×1[SUP][I]m[/I][/SUP][I] [[I]p×[I]q]
    ≡ [I]a
    en utilisant le petit théorème de Fermat généralisé.[/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    [COLOR=#222222][FONT=Georgia][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][B][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I][I]De ce théorème, on déduit alors le protocole RSA pour le codage.






    un tres bon livre sur le sujet est 'la symphonie des nombre premiers', il est tres accessible et tres detaillé sur l'histoire et le developpement des nombres premier et leur utilité, ils expliquent entre autre aussi l'importance du theoreme de fermat
    [/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/B][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/I][/FONT][/COLOR]
    Ah mine de rien les maths me manquent !

  6. #6
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    hi hi j'adore les maths mais je suis plus callé en geometrie, algebre lineaire, nombre complexe et ce genre de trucs que en arithmetiques, les nombre premiers ca fait un moment que j'ai pas mis le nez dedans mais c'est un sujet tres interressant ya toujours 1 million $ de recompense pour la demonstration de la conjecture de rieman

  7. #7
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    moi j'aimais bien à peu près tout
    Mais pas très douée pour la géométrie ds l'espace
    En tout cas tu m'as donné envie de replonger dans tout ça
    Mais vu mon niveau plus que moyen faudra attendre pour la démonstration de la conjecture de Riemann lol !

  8. #8
    Confirmé
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    la geometrie dans l'espace ca va c'est un des truc que j'apprehende le mieux , j'ai fait pas mal de programmation 3D, opengl ou software, c'est un des trucs qui rentre le mieux dans mon cerveau avec les quaternions, les matrices, l'algebre lineaire, etc tout ca va, je pense maitriser pas mal le sujet lol

  9. #9
    Fidèle
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    Oh mon Dieu les quaternions, je ne suis jamais allée jusque là lol !
    Juste entendu parlé, jamais essayé d'aller plus loin
    Mais je vais lire un peu sur le sujet histoire de mourir moins ****e

    Et moi tout ce qui est vision ds l'espace c'est 0/20 !

  10. #10
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    les quaternion ca dechire

    [URL]http://sciences.ch/htmlfr/arithmetique/arithmetiquenombres01.php#nbcomplexes[/URL] tres bonne page sur le sujet des nombres complex et quaternions

    [URL]http://sciences.ch/htmlfr/geometrie/geometrietrigonometrie01.php[/URL] meme site sur la trigo de base qui sont des concept important pour rentrer dans le comphrension des nombres complexes

    [URL]http://sciences.ch/htmlfr/geometrie/geometrieanalytique01.php[/URL] geometrie analytique, un peu la meme chose que algebre lineaire sous un autre nom

  11. #11
    Confirmé
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    les quaternion c'est vraiment un truc d'avenir pour tout les domaines de la physique une fois que t'as compris les quaternion, tout ce qui est geometrie dans l'espace devient tres facile a manipuler, c'est ce genre de mathematique qui est utilisé dans la physique des particules et dans tout les domaines ca simplifie enormement tout les calcul de rotations dans l'espace qui est quand meme un theme centrale aussi bien au niveau de l'univers que des atomes tout tourne autour de quelque chose dans cet univers et les quaternion sont l'outil ultime pour definir les rotation dans l'espace les equation de cercle et la geometrie spherique deviennent tres simple a manipuler avec les quaternions et la geometrie spherique c'est le coeur des theorie de la relativité, et meme en mecanique quantique, on retrouve quand meme beaucoup de geometrie spherique et equation de cercles les notions de distance sont tres fondementale dans tout ce qui est physique et les cercles sont la definition d'un ensemble de point a une distance eguale du centre, ce qui est definissable tres facilement avec les nombre complexes et idem pour les spheres avec les quaternions =)

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